Algèbre : Tome 1 : groupes, corps et théorie de Galois by Daniel Guin, Thomas Hausberger

By Daniel Guin, Thomas Hausberger

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Parlons Télougou

Par le nombre de ses locuteurs (70 hundreds of thousands de personnes) le télougou est los angeles deuxième langue de l’Union indienne, et l. a. première de los angeles famille linguistique dravidienne. Elle est aujourd’hui langue officielle de l’État d’Andhra Pradesh dont l. a. capitale Hyderabad se situe aux confins de l’Inde du nord et du sud.

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En déduire qu’un sous-groupe d’un groupe cyclique est un groupe cyclique. 6. Montrer que si G = x est un groupe cyclique d’ordre n, si k est un entier relatif et si h = pgcd(k, n), alors xk et xh engendrent le même sous-groupe. 1) montre que si G est un groupe fini, l’ordre de tout sous-groupe H de G divise l’ordre de G. En général, si d est un diviseur quelconque de l’ordre de G, il n’existe pas de sous-groupe H de G d’ordre d. B que le groupe A4 , qui est d’ordre 12, n’a pas de sous-groupe d’ordre 6.

9. Montrer que si γ est un r-cycle, sgn(γ) = (−1)r−1 . 10. Montrer que si τ est une transposition, sgn(σ ◦ τ ) = −sgn(σ). (On considère la tranposition τ qui échange i et j ; on montre que : – si Ωσ (k) est une σ-orbite ne contenant ni i ni j, Ωσ◦τ (k) = Ωσ (k) ; – si i et j sont dans deux σ-orbites distinctes, les termes de ces deux σ-orbites forment une seule (σ ◦ τ )-orbite ; 26 Thèmes de réflexion – si i et j sont dans la même σ-orbite, les termes de cette σ-orbite forment deux (σ ◦ τ )-orbites distinctes.

Unicité de h : supposons qu’il existe un autre morphisme de groupes h : G → G1 × G2 tel que pi ◦ h = fi , i = 1, 2. Alors, pour tout x de G, on a h (x) = (f1 (x), f2 (x)) = h(x), d’où h = h. 4. Le problème universel de produit de groupes s’énonce de la façon suivante : deux groupes G1 et G2 étant donnés, existe-t-il un groupe P et des morphismes de groupes pi : P → Gi , i = 1, 2, tels que, pour tout groupe G et tous morphismes de groupes fi : G → Gi , i = 1, 2, il existe un unique morphisme de groupes g : G → P tel que pi ◦ g = fi , i = 1, 2 ?

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